1. 5 Sistem Persamaan Linear dua variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel sanggup didefinisikan sebagai dua buah persamaan linear yang mempunyai dua variabel dimana diantara keduanya ada keterkaitan dan mempunyai konsep penyelesaian yang sama. Bentuk umum dari sistem ini adalah:

ax + by = c ..... (1)

px + qy = r ..... (2)

keterangan:

x, y = variabel

a, b, p, q = koefisien setiap variable

c, r = konstanta

Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)

SPLDV ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah sehari-hari yang membutuhkan penggunaan Matematika, seperti menentukan harga suatu barang, mencari keuntungan penjualan, sampai menentukan ukuran suatu benda.

Langkah-langkah tertentu untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan SPLDV, yaitu:

1) Mengganti setiap besaran yang ada di masalah tersebut dengan variabel (biasanya dilambangkan dengan huruf atau simbol).

2) Membuat model Matematika dari masalah tersebut. Model Matematika ini dirumuskan mengikuti bentuk umum SPLDV.

3) Solusi dari model permasalahan tersebut dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.

Metode Penyelesaian SPLDV terdapat 4 metode , yaitu:

1. Metode substitusi

Konsep dasar dari metode substitusi yaitu mengganti sebuah variabel dengan memakai persamaan yang lain. Untuk dapat memahami metode substitusi, perhatikan contoh berikut:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear 2x + y = 5 dan 2x – y = 7!

Pembahasan:

Pertama kita ubah persamaan 2x + y = 5 menjadi y = 5 - 2x ..... (1)

Lalu persamaan (1) kita masukkan ke dalam persamaan yang kedua: 2x – y = 7, maka didapat:

2x - (5 - 2x) = 7

2x - 5 + 2x = 7

4x - 5 = 7

4x = 7 + 5

4x = 12

x = 12/4

x = 3

Kita sudah menemukan nilai x = 3. Selanjutnya masukkan nilai x = 3 ke persamaan (1), didapat:

y = 5 - 2x

y = 5 - 2(3)

y = 5 – 6

y = -1

Maka himpunan penyelesaianya yaitu : HP = {3, -1}

2. Metode Elliminasi (menghilangkan)

Metode ini dilakukan dengan cara mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel yang ada dalam PLDV, bisa variabel x atau y. Langkah penyelesaian dengan metode eliminasi:

1) Pilih variabel yang akan dieliminasi, misal x. Kemudian samakan koefisien variabel x di dua persamaan yang ada.

2) Hilangkan variabel x (yang sudah sama tadi) dengan menjumlahkan/mengurangi kedua persamaan, lalu selesaikan hingga didapat nilai variabel yang tidak dieliminasi, yakni y.

3) Substitusikan nilai variabel yang ditemukan itu (y) ke salah satu persamaan sehingga akan ditemukan nilai variabel yang lain atau yang dieliminasi sebelumnya (x).

Contoh:

Himpunan penyelesaian dari 2x + 4y = 22 dan 3x − 5y = -11, dengan menggunakan metode eliminasi!

Pembahasan:

Dipilih variabel yang akan dieliminasi adalah x, maka koefisien x di dua persamaan itu akan disamakan, yaitu menjadi:

2x + 4y = 22 |x 3 | 6x + 12y = 66

3x − 5y = -11 |x 2 | 6x − 10y = -22

____________ -

22y = 88

y = 88/22 = 4

Untuk menentukan nilai x, maka y yang kita eliminasi:

2x + 4y = 22 |× 5 | 10x + 20y = 110

3x − 5y = -11|× 4 | 12x − 20y = -44

____________ +

22x = 66

x = 66/22 = 3

Jadi, himpunan penyelesaian HP:{(3, 4)}

3. Metode Grafik

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV: x + y = 5 dan x − y = 1 untuk x, y ∈ R menggunakan metode grafik.

Pembahasan:

Pertama, kita tentukan titik potong masing-masing persamaan pada sumbu-X dan sumbu-Y

x + y = 5

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0

⇔ x + 0 = 5

⇔ x = 5

Titik potong (5, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0

⇔ 0 + y = 5

⇔ y = 5

Titik potong (0, 5)

x − y = 1

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0

⇔ x − 0 = 1

⇔ x = 1

Titik potong (1, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0

⇔ 0 − y = 1

⇔ y = −1

Titik potong (0, -1)

Kedua, kita gambarkan grafik dari masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesius seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Dari gambar grafik di atas, titik potong kedua grafik tersebut adalah di titik (3, 2). Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1 untuk x, y ∈ R adalah {(3, 2)}.

4. Metode Gabungan

Melihat dari namanya sudah bisa ditebak jika metode yang digunakan ialah gabungan antara metode eliminasi dengan metode substitusi. Langkahnya dengan memakai metode eliminasi lebih dulu untuk mencari nilai x. Lalu gantilah variabel x nya dengan nilai yang kamu dapatkan dari metode substitusi tadi guna mencari nilai y nya.

Contoh:

Himpunan penyelesaian dari x + y = 1 dan 2x − 4y = 14 adalah...

Pembahasan:

Dipilih variabel yang akan dieliminasi adalah x, maka koefisien x di dua persamaan itu akan disamakan, yaitu menjadi:

x + y = 1 |x 2 | 2x + 2y = 2

2x − 4y = 14 |x 1 | 2x − 4y = 14

__________ -

6y = -12

y = -12/6 = -2

Setelah memperoleh nilai y, substitusi nilai y ke salah satu persamaan untuk memperoleh nilai x. Misalnya dilakukan substitusi nilai y ke dalam persamaan (1), maka:

x + y = 1

x + (-2) = 1

x - 2 = 1

x = 1 + 2

x = 3

Jadi, himpunan penyelesaian HP:{(3, -2)}

Family Pride Kumpulan Mahasiswa/i yang membuat blogger yang bertujuan untuk membagikan ilmu pengetahuan tentang matematika dengan harapan siapapun yang berkunjung ke blog kami ini bisa membantu siswa dalam memahami matematika sehingga bisa membuat keluarganya bangga apabila siswa ini mendapat nilai yang bagus ketika mendapat ilmu dari blog ini serta kami bercita-cita menjadi seorang pendidik yang hebat dan berakhlak mulia.